Question

如图，抛物线y=ax²+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（-4，0）和B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（-2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=ax²+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（-4，0），利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）首先设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．由（1）中的抛物线，即可求得B的坐标，即可求得AB与BQ的值，又由△BQE∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得EG的值，又由S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ，利用二次函数的最值的求解方法，即可求得当△CEQ的面积最大时，点Q的坐标；
（3）根据题意分别从OD=DF，DF=OF，OD=OF去分析，即可求得答案，利用等腰三角形与直角三角形的性质即可求得答案．

解答：解：（1）由题意，得：

c=4 16a-8a+c=0

，
解得：

a=- 1 2 c=4

，
∴所求抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²-x+4．

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．
由-

1

2

x²-x+4=0，
得x₁=2，x₂=-4，
∴点B的坐标为（2，0），
∴AB=6，BQ=2-m，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴

BQ

BA

=

EG

OC

，
即

2-m

6

=

EG

4

，
∴EG=

2

3

（2-m），
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ
=

1

2

BQ•CO-

1

2

BQ•EG
=

1

2

（2-m）[4-

2

3

（2-m）]
=-（m+1）²+3
又∵-4≤m≤2，
∴当m=-1时，S_△CQE有最大值3，此时Q（-1，0）．

（3）存在．在△ODF中．
（ⅰ）若DO=DF，
∵A（-4，0），D（-2，0）
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°．
此时，点F的坐标为（-2，2）
（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M
由等腰三角形的性质得：OM=MD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（-1，3）；
（ⅲ）若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4

2

，
∴点O到AC的距离为2

2

，而OF=OD=2＜2

2

，
∴此时不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点F的坐标为：F（-2，2）或（-1，3）．

点评：此题考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数求函数解析式，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．