Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），C（0，3）

（1）求该抛物线的表达式；

（2）求BC的解析式；

（3）点M是对称轴右侧点B左侧的抛物线上一个动点，当点M运动到什么位置时，△BCM的面积最大？求△BCM面积的最大值及此时点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式y=-x2+2x+3；（2）BC的解析式为y=-x+3；（3）△BCM面积的最大值为，此时点M的坐标（， ）．

【解析】试题分析：

（1）将A、C坐标代入y=﹣x2+bx+c列方程组求得b、c的值即可求得解析式；

（2）由（1）中所求解析式可求得B的坐标，结合点C的坐标，用待定系数法可求得直线BC的解析式；

（3）过点M作MN∥y轴，交BC于点N，设点M的横坐标为“m”，则由（1）、（2）所得解析式可表达出M、N的纵坐标，从而可表达出MN的长度，在由S△BCM=MN·OB即可用含“m”的式子表达出“S△BCM”，即可求得其最大值和此时点M的坐标.

试题解析：

（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得
抛物线的解析式y=-x2+2x+3；
（2）当y=0时，有-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3，

∴点B的坐标为：（3，0），

设直线BC的解析式为：y=kx+n，把B、C的坐标代入可得： 解得； ，∴直线BC的解析式为：y=-x+3；
（3）如图，过点M作MN∥y轴，交BC于点N，

设点M的坐标为，则点N的坐标为，

又∵点M在点N的上方，

∴MN=，

∴S△BCM=MN·OB

=

=

=.

∵点M是对称轴右侧、点B左侧的抛物线上一个动点，

∴，

∴当时，S△BCM最大=.此时点M的坐标为.