Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（-4，0），交y轴于点B（0，2），P为线段OA上一个动点，Q为第二象限的一个动点，且满足PQ=PA，OQ=OB．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）若△OPQ为直角三角形，试求点P的坐标，并判断点Q是否在直线AB上．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先设直线AB的函数关系式为：y=kx+b，由直线AB交x轴于点A（-4，0），交y轴于点B（0，2），利用待定系数法即可求得直线AB的函数关系式；
（2）由△OPQ为直角三角形，则可判定∠PQO=90°，然后设AP=PQ=a，PO=4-a，由勾股定理可得方程：（4-a）²=a²+2²，继而求得答案．

解答：解：（1）设直线AB的函数关系式为：y=kx+b，
∵点A（-4，0），点B（0，2），
∴

-4k+b=0 b=2

，
解得：

k= 1 2 b=2

，
∴直线AB的函数关系式为：y=

1

2

x+2；

（2）∵△OPQ为直角三角形，
①若∠POQ=90°，则点Q在y轴上，
∵Q为第二象限的一个动点，
∴矛盾，
∴∠POQ≠90°；
②若∠QPO=90°，
则PA=PQ＜OQ，PO＜OQ，
∵OQ=OB=2，PO＜2，
∴OA=OP+PA＜4，
∵OA=4，
∴矛盾，
∴∠QPO≠90°；
③若∠PQO=90°，设AP=PQ=a，PO=4-a，
∴（4-a）²=a²+2²，
解得：a=

3

2

，
∴PO=4-a=

5

2

，
∴点P的坐标为：（-

5

2

，0），
过点Q作QH⊥OP于点H，
∴QH=

PQ•OQ

OP

=

6

5

，
∴OH=

OQ2-QH2

=

8

5

，
∴点Q的坐标为：（-

8

5

，

6

5

）；
∵当x=-

8

5

时，y=

1

2

×（-

8

5

）+2=

6

5

，
∴点Q在直线AB上．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．