Question

（2012•绵阳）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=

1

2

，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（　　）

• A．

  3

  5

• B．

  10

  5

• C．

  3

  10

• D．

  3 10

  10

Answer 1

分析：作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到

BC

AC

=

CD

BC

=

DE

AE

=

1

2

，设CD=1，则可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的长，则BE可以求得，根据同角三角函数之间的关系即可求解．

解答：解：作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD=

BC

AC

=

CD

BC

=

DE

AE

=

1

2

，
设CD=1，则BC=2，AC=4，
∴AD=AC-CD=3，
在直角△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

4+16

=2

5

，
在直角△ADE中，设DE=x，则AE=2x，
∵AE²+DE²=AD²，
∴x²+（2x）²=9，
解得：x=

3 5

5

，
则DE=

3 5

5

，AE=

6 5

5

．
∴BE=AB-AE=2

5

-

6 5

5

=

4 5

5

，
∴tan∠DBA=

DE

BE

=

3

4

，
∴sin∠DBA=

3

5

．
故选A．

点评：本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关键．