Question

某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．
（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．
问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．
（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）设AP=x，则PB=1-x，根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和=x²+（8-x）²，配方得到2（x-4）²+32，然后根据二次函数的最值问题求解．
（2）根据PE∥BF求得PK=

a(8-a)

8

，进而求得DK=PD-PK=a-

a(8-a)

8

=

a2

8

，然后根据面积公式即可求得．
（3）本问涉及点的运动轨迹．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示；
（4）本问涉及点的运动轨迹．GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如答图4-1所示；然后利用轴对称的性质，求出OM+OB的最小值，如答图4-2所示．

解答：解：（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．
设AP=x，则PB=8-x，
根据题意得这两个正方形面积之和=x²+（8-x）²
=2x²-16x+64
=2（x-4）²+32，
所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32．

（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK．
依题意画出图形，如答图2所示．

设AP=a，则PB=BF=8-a．
∵PE∥BF，
∴

PK

BF

=

AP

AB

，即

PK

8-a

=

a

8

，
∴PK=

a(8-a)

8

，
∴DK=PD-PK=a-

a(8-a)

8

=

a2

8

，
∴S_△APK=

1

2

PK•PA=

1

2

•

a(8-a)

8

•a=

a2(8-a)

16

，S_△DFK=

1

2

DK•EF=

1

2

•

a2

8

•（8-a）=

a2(8-a)

16

，
∴S_△APK=S_△DFK．

（3）当点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，
若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；
若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A．
此时在Rt△APQ中，O为PQ的中点，所以AO=

1

2

PQ=4．
所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上．
PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示：

所以PQ的中点O所经过的路径的长为：

3

4

×2π×4=6π．

（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为

113

．
如答图4-1，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形．

∵点O为中点，
∴OS=

1

2

（GR+HT）=

1

2

（AP+PB）=4，即OS为定值．
∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上．
∵MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，
∴点O的运动路径为线段XY，XY=

1

2

MN=3，XY∥AB且平行线之间距离为4，点X与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5．
如答图4-2，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．

由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．
在Rt△BMM′中，MM′=2×4=8，BM=7，由勾股定理得：BM′=

MM′2+BM2

=

113

．
∴OM+OB的最小值为

113

．

点评：本题是中考压轴题，难度较大．解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力；此外本题还综合考查了二次函数、整式运算、四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点，是一道好题．