Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与双曲线y=$\frac{m}{x}$相交于A，B两点，C是第一象限内的双曲线上与点A不重合的一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若点A的坐标为（2，3），△PBC的面积是24，则点C的坐标为（6，1）．

Answer 1

分析 根据待定系数法求得k、m的值，设设C点坐标为（a，$\frac{6}{a}$），根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$可得到A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），再利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=$\frac{3}{a}$x+$\frac{6}{a}$-3，直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{a}$x+$\frac{6}{a}$+3，于是利用y轴上点的坐标特征得到D点坐标为（0，$\frac{6}{a}$-3），P点坐标为（0，$\frac{6}{a}$+3），然后利用S_△PBC=S_△PBD+S_△CPD得到关于a的方程，求出a的值即可得到C点坐标．

解答 解：∵点A的坐标为（2，3），
∴k=$\frac{3}{2}$，m=6，
设BC交y轴于D，如图，设C点坐标为（a，$\frac{6}{a}$）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），
设直线BC的解析式为y=k′x+b，
把B（-2，-3）、C（a，$\frac{6}{a}$）代入得 $\left\{\begin{array}{l}{-2k′+b=-3}\\{ak′+b=\frac{6}{a}\\;}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k′=\frac{3}{a}}\\{b=\frac{6}{a}-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{3}{a}$x+$\frac{6}{a}$-3，
当x=0时，y=$\frac{3}{a}$x+$\frac{6}{a}$-3=$\frac{6}{a}$-3，
∴D点坐标为（0，$\frac{6}{a}$-3）
设直线AC的解析式为y=m′x+n，
把A（2，3）、C（a，$\frac{6}{a}$）代入得 $\left\{\begin{array}{l}{2m′+n=3}\\{am′+n=\frac{6}{a}}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{m′=-\frac{3}{a}}\\{n=\frac{6}{a}+3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{a}$x+$\frac{6}{a}$+3，
当x=0时，y=-$\frac{3}{a}$x+$\frac{6}{a}$+3=$\frac{6}{a}$+3，
∴P点坐标为（0，$\frac{6}{a}$+3）
∵S_△PBC=S_△PBD+S_△CPD，
∴$\frac{1}{2}$×2×6+$\frac{1}{2}$×a×6=24，解得a=6，
∴C点坐标为（6，1）．
故答案为：（6，1）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；若方程组无解则两者无交点．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式．