Question

7．如图，抛物线y=ax²+bx+5与x轴交于A（-5，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C，直线y=-2x+m经过点B与抛物线交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请直接写出D点的坐标；
（3）求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）因为抛物线过（2，1）和（6，-5）两点，所以把以上两点的坐标代入求出a和b的值即可求出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程即可求得D的坐标；
（3）直线BD交y轴于E，根据抛物线的解析式求得C的坐标，从而求得CE的长，然后根据S_△BCD=S_DCE+S_△BCE即可求得．

解答 解：（1）把（A（-5，0）和B（1，0）两点坐标代入抛物线的解析式得$\left\{\begin{array}{l}{25a-5b+5=0}\\{a+b+5=0}\end{array}\right.$，
解这个方程组，得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为y=-x²-4x+5；
（2）∵直线y=-2x+m经过点B，
∴0=-2×1+m，解得m=2，
∴直线为y=-2x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=-{x}^{2}-4x+5}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=8}\end{array}\right.$
∴D点的坐标为（-3，8）；
（3）设直线BD交y轴于E，则E（0，2），
∵抛物线y=ax²+bx+5可知C（0，5），
∴CE=5-2=3，
∴S_△BCD=S_DCE+S_△BCE=$\frac{1}{2}$CE|x_D|+$\frac{1}{2}$CE•|x_B|=$\frac{1}{2}$×3×（3+1）=6．

点评 本题考查了抛物线和x轴的交点，待定系数法求函数的解析式以及抛物线和直线的交点等，注意数形结合与方程思想的应用．