Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB如图，AB是

⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）CD与圆O相切；证明见解析

（2）S阴影=S△DEC=××=．

【解析】

试题分析：（1）CD与圆O相切，理由如下：由AC为角平分线得到一对角相等，利用等角对等边得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，进而得到OC与CD垂直，即可得证；

（2）连接EB，交OC于F，利用直径所对的圆周角为直角，以及切线的性质，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与AD平行，由O为AB中点，得到F为BE中点，利用中位线定理求出OF的长，进而利用勾股定理求出EF的长，阴影部分面积等于三角形EDC面积，求出即可．

试题解析：（1）CD与圆O相切，理由如下：

∵AC为∠DAB的平分线，

∴∠DAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

则CD与圆O相切；

（2）连接EB，交OC于F，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

∴EB∥CD，

∵CD与⊙O相切，C为切点，

∴OC⊥CD，

∴OC∥AD，

∵点O为AB的中点，

∴OF为△ABE的中位线，

∴OF=AE=，即CF=DE=，

在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=，

则S阴影=S△DEC=××=．