Question

7．设二次函数f（x）=ax²+bx+c的顶点坐标是（-1，0），且对于任意实数x不等式x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$（x²+1），则函数f（x）的表达式是f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据顶点坐标公式，可得a、b、c的关系，根据解不等式组，可得a的值，可得函数解析式．

解答 解：将（-1，0）代入得f（x）=ax²+bx+c，得b=a+c．
顶点坐标（-1，0），x=-$\frac{b}{2a}$=-1，得b=2a=a+c，a=c．
由x≤f（x）=ax²+（a+c）x+c=＞ax²+（a+c-1）x+c≥0对一切x都成立，所以有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（2a-1）^{2}-4{a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{1}{4}$，
（a-$\frac{1}{2}$）x²+（a+c）x+（c-$\frac{1}{2}$）≤0对一切x都成立，所以有$\left\{\begin{array}{l}{a-1＜0}\\{（2a）^{2}-4（a-\frac{1}{2}）（a-\frac{1}{2}）≤0}\end{array}\right.$，解得a≤$\frac{1}{4}$，
∴b=2a=$\frac{1}{2}$，a=c=$\frac{1}{4}$．
f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$．
故答案为：f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数与不等式组，利用顶点坐标得出a、b、c的关系，再利用解不等式组得出a的值是解题关键．