Question

17．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的判定定理：两组对边分别平行得到结论；
（2）由角平分线、等量代换得到角相等，由等角对等边得到BD=AB=5，根据勾股定理列方程求解．

解答 （1）证明：∵∠ADE=∠BAD，
∴AB∥DE，
∵AE⊥AC，BD⊥AC，
AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠AED=∠BDA，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=AB=5，
设BF=x，则DF=5-x，
∴AD²-DF²=AB²-BF²，
∴6²-（5-x）²=5²-x²，
∴x=$\frac{7}{5}$，
∴AF=$\sqrt{{AB}^{2}{-BF}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∴AC=2AF=$\frac{48}{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程．