Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是AC边上的动点（点E与C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB于F，连接MC、MF．
（1）点B、C、E、F是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
（2）若∠CBA=56°，请问在点E运动过程中∠CMF的大小是否变化？若不变，求出∠CMF的度数；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MC=MB=ME，MF=MB=ME，得到MB=MC=ME=MF，证明结论；
（2）根据圆周角定理解答即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，点M为线段BE的中点，
∴MC=BF，即MC=MB=ME，
∵EF⊥AB，点M为线段BE的中点，
∴MF=BF，即MF=MB=ME，
∴MB=MC=ME=MF，
∴点B、C、E、F是否在以点M为圆心的同一个圆上；
（2）∵点B、C、E、F是否在以点M为圆心的同一个圆上，
∴∠CMF=2∠CBA=112°，
点E运动过程中∠CMF的大小不变．

点评 本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．