Question

5．如图，圆O中，两条弦AB与CD相等，弧AB和弧CD的中点分别为M、N，MN与AB、CD分别相交于E、F，求证：ME=NF．

Answer 1

分析 连接MD，BN，根据圆心角、弧、弦的关系可得出$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，由ASA定理得出△MDE≌△NBF，由此可得出结论．

解答 解：连接MD，BN，
∴AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴MD=BN．
∵$\widehat{AB}$与$\widehat{CD}$的中点分别为M、N，
∴$\widehat{DN}$=$\widehat{BM}$，$\widehat{MC}$=$\widehat{AN}$
∴∠DME=∠BNF，∠MDE=∠NBF．
在△MDE与△NBF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DME=∠BNF\\ MD=BN\\∠MDE=∠NBF\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△NBF（ASA），
∴ME=NF．

点评 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．