Question

17．如图是抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a-b=0；
②abc＞0；
③方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y₂＜y₁，
其中正确的序号是③④⑤．

Answer 1

分析 ①根据抛物线的开口方向以及对称轴为x=1，即可得出a、b之间的关系以及a、b的正负，由此得出①错误；②根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，可知c为正，结合a＜0、b＞0即可得出②错误；③将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x轴只有一个交点，从而得知③正确；④根据抛物线的对称性结合抛物线的对称轴为x=1以及点B的坐标，即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标，④正确（此处有答案理解为④不正确，但题中点明图形为抛物线的一部分，该问中抛物线应为完整的抛物线）；⑤根据两函数图象的上下位置关系，即可得出当1＜x＜4时，有y₂＜y₁，⑤正确．综上即可得出结论．

解答 解：①∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，抛物线开口朝下，
∴b=-2a，a＜0，
∴b＞0，2a-b=2a+2a=4a＜0，①错误；
②∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，②错误；
③将抛物线y₁=ax²+bx+c往下平移三个单位长度，抛物线与x轴只有一个交点（1，0），
∴方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根，③正确；
④∵抛物线的对称轴为x=1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴与x轴另一交点横坐标为：1×2-3=-1，④正确；
⑤观察函数图象可知：当1＜x＜4时，抛物线在直线的上方，
∴y₂＜y₁，⑤正确．
综上可知：正确的结论有③④⑤．
故答案为：③④⑤．

点评 本题考查了二次函数与不等式、二次函数图象与系数的关系以及抛物线与x轴的交点，根据函数图象逐一分析五条结论的正误是解题的关键．