Question

【题目】如图，在中，，动点从点出发，以的速度沿射线运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t秒，的面积为．

(1)直接写出的长：= ；

(2)求出关于的函数关系式，并求出当点运动几秒时，；

(3)作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）AC=cm；（2）当点P运动（2+2）秒时，S△PCQ=S△ABC ；（3）线段DE的长度不会改变．证明见解析.

【解析】

（1）利用勾股定理求解即可；
（2）分两种情形当0＜t≤4时，当t＞4秒时，分别构建方程即可解决问题；
（3）过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，利用全等三角形的判定和性质证明四边形PEQM是平行四边形，求出DE是定值即可解决问题．

解：（1）∵AB=BC=8cm，∠ABC=90°，

cm，

（2）当0＜t4时，P在线段AB上，此时CQ=2t，PB=8﹣2t，

∴，

当t＞4秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=2t，PB=2t﹣8，

，

∵S△ABC=，

∴当t4时，S△PCQ=

整理得t2﹣4t+16=0，

∵△＜0，

∴此方程无实数解；

当t＞4时，S△PCQ=，

整理得t2﹣4t﹣16=0，

解得（负值已舍去），

∴当点P运动（）秒时，S△PCQ=S△ABC；

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

证明：如图2，过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，

∵PE⊥AC，QM⊥AC，
∴∠AEP=∠M=90°，
∵AP=CQ，∠A=∠ACB=∠MCQ=45°，
∴△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四边形PEQM是平行四边形，

∴DE是对角线EM的一半，

又∵EM=AC=8，

∴DE=4，

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变；

同理，当点P在点B右侧时，DE=4，

综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．