Question

【题目】如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点，CF∥AB交ED的延长线于点F，连接AF、CE.

(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是菱形.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当∠ABC=90°时，四边形AECF是菱形，详见解析

【解析】

（1）由三角形中位线定理可得DE∥BC，BC=2DE，且CF∥AB，即可证四边形BCFE是平行四边形；

（2）首先证明四边形AECF是平行四边形，且AC⊥EF，可得四边形AECF是菱形．

（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，

∴DE∥BC，BC=2DE，

∵DE∥BC，CF∥AB，

∴四边形BCFE是平行四边形；

（2）当∠ABC=90°时，四边形AECF是菱形，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠ABC=90°，

∴AC⊥EF，

∵点E是AB中点，

∴AE=BE，

∵四边形BCFE是平行四边形，

∴CF∥AB，CF=BE，

∴CF=AE，

∴四边形CFAE是平行四边形，且AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形.