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【题目】已知:如图,在平行四边形中,GH分别是的中点,EOF分别是对角线上的四等分点,顺次连接GEHF.

1)求证:四边形是平行四边形;

2)当平行四边形满足_______条件时,四边形是菱形;

3)若,探究四边形的形状,并说明理由.

【答案】(1)见解析;(2);(3)四边形是矩形,理由见解析

【解析】

1)连接AC,由平行四边形的性质和已知条件得出EF分别为OBOD的中点,证出GFAOD的中位线,由三角形中位线定理得出GFOAGFOA,同理:EHOCEHOC,得出EHGFEHGF,即可得出结论;

2)连接GH,证出四边形ABHG是平行四边形,再证明GHEF,即可得出平行四边形GEHF是菱形;

3)由(2)得:四边形ABHG是平行四边形,得出GHAB,证出GHEF,即可得出四边形GEHF是矩形.

解:(1)连接AC

∵四边形ABCD是平行四边形,

OAOCOBOD

BD的中点在AC上,

EOF分别是对角线BD上的四等分点,

EF分别为OBOD的中点,

GAD的中点,

GFAOD的中位线,

GFOAGFOA

同理:EHOCEHOC

EHGFEHGF

∴四边形GEHF是平行四边形;

2)当ABCD满足ABBD条件时,四边形GEHF是菱形;

理由:连接GH

AGBHAGBH

∴四边形ABHG是平行四边形,

ABGH

ABBD

GHBD

GHEF

∴平行四边形GEHF是菱形,

故答案为:ABBD

3)四边形GEHF是矩形;

理由:由(2)得,四边形ABHG是平行四边形,

GHAB

BD2AB

ABBDEF

GHEF

∴四边形GEHF是矩形.

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x

30

32

34

36

y

40

36

32

28

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x

1

0

1

3

y

1

3

5

3

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