【题目】已知:如图,在平行四边形中,G、H分别是、的中点,E、O、F分别是对角线上的四等分点,顺次连接G、E、H、F.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)当平行四边形满足_______条件时,四边形是菱形;
(3)若,探究四边形的形状,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3)四边形是矩形,理由见解析
【解析】
(1)连接AC,由平行四边形的性质和已知条件得出E、F分别为OB、OD的中点,证出GF为△AOD的中位线,由三角形中位线定理得出GF∥OA,GF=OA,同理:EH∥OC,EH=OC,得出EH=GF,EH∥GF,即可得出结论;
(2)连接GH,证出四边形ABHG是平行四边形,再证明GH⊥EF,即可得出平行四边形GEHF是菱形;
(3)由(2)得:四边形ABHG是平行四边形,得出GH=AB,证出GH=EF,即可得出四边形GEHF是矩形.
解:(1)连接AC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∴BD的中点在AC上,
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点,
∴E、F分别为OB、OD的中点,
∵G是AD的中点,
∴GF为△AOD的中位线,
∴GF∥OA,GF=OA,
同理:EH∥OC,EH=OC,
∴EH=GF,EH∥GF,
∴四边形GEHF是平行四边形;
(2)当ABCD满足AB⊥BD条件时,四边形GEHF是菱形;
理由:连接GH,
则AG=BH,AG∥BH,
∴四边形ABHG是平行四边形,
∴AB∥GH,
∵AB⊥BD,
∴GH⊥BD,
∴GH⊥EF,
∴平行四边形GEHF是菱形,
故答案为:AB⊥BD;
(3)四边形GEHF是矩形;
理由:由(2)得,四边形ABHG是平行四边形,
∴GH=AB,
∵BD=2AB,
∴AB=BD=EF,
∴GH=EF,
∴四边形GEHF是矩形.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=﹣1,且抛物线经过 A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
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【题目】已知一次函数y1=kx+n(n<0)和反比例函数y2=(m>0,x>0).
(1)如图1,若n=﹣2,且两个函数的图象都经过点A(3,4).
①求m、k的值;
②直接写出当y1>y2时x的范围: ;
(2)如图2,过点P(1,0)作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B、与反比例函数y3=(x>0)的图象相交于点C.
①若k=2,直线l与函数,的图象相交点D.当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时,求m﹣n的值;
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E.当m﹣n的值取不大于1的任意实数时,点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值.求此时k的值及定值d.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A、C为圆心,以大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点D和E,作直线DE交AB于点F,交AC于点G,连接CF,以点C为圆心,以CF的长为半径画弧,交AC于点H.若∠A=30°,BC=2,则AH的长是( )
A. B. 2C. +1D. 2﹣2
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【题目】某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?
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【题目】某商店购进一种商品,每件商品进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量y(件)
与每件销售价x(元)的关系数据如下:
x | 30 | 32 | 34 | 36 |
y | 40 | 36 | 32 | 28 |
(1)已知y与x满足一次函数关系,根据上表,求出y与x之间的关系式(不写出自变量x的取值范围);
(2)如果商店销售这种商品,每天要获得150元利润,那么每件商品的销售价应定为多少元?
(3)设该商店每天销售这种商品所获利润为w(元),求出w与x之间的关系式,并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大?
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如表
x | ﹣1 | 0 | 1 | 3 |
y | ﹣1 | 3 | 5 | 3 |
下列结论:
①ac<0;
②当x>1时,y的值随x值的增大而减小.
③3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;
④当﹣1<x<3时,ax2+(b﹣1)x+c>0.
其中正确的结论是 .
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【题目】如图,在△ABC中,D、E分别是AC、AB的中点,CF∥AB交ED的延长线于点F,连接AF、CE.
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是菱形.
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