Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过 A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当点M的坐标为（﹣1，2）时，点M到点A和点C的距离之和最小；（3）P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．

【解析】

（1）根据对称轴公式及A、C两点坐标代入即可求出抛物线的解析式；

（2）根据两条线段之和最短时的作图方法找到M即可，然后利用B、C的坐标求出直线BC的解析式，利用BC和对称轴即可求出M的坐标；

（3）设P（﹣1，t），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，即可表示出CB2，PB2和PC2，然后根据直角顶点分类讨论，利用勾股定理求t即可.

解：（1）根据题意得：，解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）点A的对称点为B，连接BC，直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时AM+MC的值最小．

∵点A与点B关于x＝﹣1对称，A（1，0），

∴B（﹣3，0）．

设BC的解析式为y＝mx+n，将点B和点C的坐标代入得：，解得：m＝1，n＝3．

∴直线BC的解析式为y＝x+3．

将x＝﹣1代入y＝x+3得：y＝2，

∴M（﹣1，2）．

∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，点M到点A和点C的距离之和最小．

（3）设P（﹣1，t）．

∵P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），

∴CB2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝t2+4，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10．

①当点B为直角顶点时，则BC2+PB2＝PC2，即18+t2+4＝t2﹣6t+10，解得t＝﹣2，

∴P（﹣1，﹣2）．

②当点C为直角顶点时，BC2+PC2＝PB2，即18+t2﹣6t+10＝t2+4，解得t＝4，

∴P（﹣1，4）．

③当点P为直角顶点时，PC2+PB2＝BC2，即t2+4+t2﹣6t+10＝18，解得：t＝或t＝，

∴P（﹣1，）或（﹣1，）．

综上所述，点P的坐标为P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．