Question

9．在平面直角坐标系xOy中，边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动，顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）在运动的过程中，若点B与点O重合时，点P到y轴的距离是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若点A与点O重合时，点P到y轴的距离是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．由此可见，点A、B在坐标轴的正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O）时，点P到y轴的距离h的取值范围是$\frac{\sqrt{2}}{2}＜d≤1$．

Answer 1

分析 （1）当∠BAO=45°时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标．
（2）过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线．
（3）根据垂线段最短，点B与点O重合时，点A与点O重合时，点P到y轴的距离最小，为正方形ABCD边长的一半，OA=B时点P到y轴的距离最大，为PB的长度，即可得解．

解答 解：（1）∵∠BPA=90°，PA=PB，
∴∠PAB=45°，
∵∠BAO=45°，
∴∠PAO=90°，
∴四边形OAPB是正方形，
∵AB=$\sqrt{2}$，由勾股定理得：PA=PB=1
∴P点的坐标为：（1，1）．
（2）证明：如图，作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，

∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
在△PBF和△PAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPB=∠EPA}\\{∠PFB=∠PEA}\\{BP=AP}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PAE（AAS），
∴PE=PF，
∴点P在∠AOB的平分线上．
（3）解：当点B与点O重合时，点A与点O重合时，点P到y轴的距离最小，
d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当OA=OD时，点P到y轴的距离最大，d=PB=1，
∵点A，B都不与原点重合，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜d≤1，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}＜d≤1$．

点评 本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，（2）根据垂线段最短判断出最小与最大值的情况是解题的关键．