【题目】如图,在菱形ABCD中,、、分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长,这时我们把关于的形如“”的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”.请解决下列问题:
(1)填空:①当,时, .
②用含,的代数式表示值, .
(2)求证:关于的“菱系一元二次方程”必有实数根;
(3)若是“菱系一元二次方程”的一个根,且菱形的面积是25,BE是菱形ABCD的AD边上的高,求BE的值.
【答案】(1)①5,②;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)结合图形,根据菱形的对角线互相平分以及勾股定理即可得到结论;
(2)算出△,结合(1)中②的结论即可解决问题;
(3)根据方程根的定义得出m、n、t的关系,结合(1)中②的结论进行化简,再根据菱形面积是25,即可得出t的值,进而得出结论.
(1)①当m=6,n=8时,AO=4,OB=3,∴t=AB==5.
②∵AO=,OB=,∴t2=AB2=.
故答案为:5,.
(2)
这里,a=m,b=t,c=n,∴.
∵,∴,∴关于的“菱系一元二次方程”必有实数根.
(3)∵是“菱系一元二次方程”的一个根,∴,∴,∴.
∵,∴.
∵菱形面积是25,∴,∴,解得:,即,∴.
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【题目】如图,在ABCD中,点P是AB边上一点不与A,B重合,,过点作,交AD边于点Q,连结CQ.
若,求证:四边形ABCD是矩形;
在的条件下,当,时,求AQ的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=8,E是边AB上一点,且AE=AB,⊙O经过点E,与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线相交于另一点F,且EG:EF=.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时,AB的长是 .
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【题目】已知:⊙O是△ABC的外接圆,点M为⊙O上一点.
(1)如图,若△ABC为等边三角形,BM=1,CM=2,求AM的长;
小明在解决这个问题时采用的方法是:延长MC到E,使ME=AM,从而可证△AME为等边三角形,并且△ABM≌△ACE,进而就可求出线段AM的长.
请你借鉴小明的方法写出AM的长,并写出推理过程.
(2)若△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,,(其中b>a),直接写出AM的长(用含有a,b的代数式表示).
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【题目】如图,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且∠A=∠EDF=60°,有下列结论:①AE=BF;②△DEF是等边三角形;③△BEF是等腰三角形;④∠ADE=∠BEF,其中结论正确的个数是( )
A.3
B.4
C.1
D.2
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【题目】骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱,各种品牌的山地自行车相继投放市场,顺风车行经营的型车去年6月份销售总额为3.2万元,今年经过改造升级后型车每辆销售价比去年增加400元,若今年6月份与去年6月份卖出的型车数量相同,则今年6月份型车销售总额将比去年6月份销售总额增加.
,两种型号车的进货和销售价格表:
型车 | 型车 | |
进货价格(元辆) | 1100 | 1400 |
销售价格(元辆) | 今年的销售价格 | 2400 |
(1)求今年6月份型车每辆销售价多少元;
(2)该车行计划7月份新进一批型车和型车共50辆,且型车的进货数量不超过型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多?
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【题目】如图,矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的,AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N.设△BPQ,△DKM,△CNH的面积依次为S1,S2,S3.若S1+S3=20,则S2的值为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】关于x的方程(k﹣1)x2+2kx+2=0.
(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根.
(2)设x1,x2是方程(k﹣1)x2+2kx+2=0的两个根,记,S的值能为2吗?若能,求出此时k的值;若不能,请说明理由.
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【题目】工人师傅童威准备在一块长为60,宽为48的长方形花圃内修建四条宽度相等,且与各边垂直的小路.四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形,且边长是小路宽度的8倍.若四条小路所占面积为160.设小路的宽度为x,依题意列方程,化为一般形式为_________
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