【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=8,E是边AB上一点,且AE=AB,⊙O经过点E,与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线相交于另一点F,且EG:EF=.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时,AB的长是 .
【答案】12或4.
【解析】
试题如答图,过点G作GN⊥AB,垂足为N,连接OE,∴EN=NF,
又∵EG:EF=,∴EG:EN=,
又∵GN=AD=8,∴设EN=k,则,根据勾股定理得:.
解得:k =4.∴EN=4,.
设⊙O的半径为r,由OE2=EN2+ON2,即:r2=16+(8﹣r)2,解得:r=5.
∵∠GEB为锐角,∴点F在点E的右边,分两种情况:
①当边BC所在的直线与⊙O相切于点K时,如答图1,连接OK.∴OK=NB=5.∴EB=9,
又AE=AB,∴AB=12.
②当边AD所在的直线与⊙O相切于点Q时,如答图2,连接OQ。∴OQ=AN=5.∴AE=1.
又AE=AB,∴AB=4.
综上所述,当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时,AB的长是12或4.
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【题目】已知:如图所示.在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm2?
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【题目】如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论:①△ACE≌△BCD;②若∠BCD=25°,则∠AED=65°;③DE2=2CFCA;④若AB=3,AD=2BD,则AF=.其中正确的结论是______.(填写所有正确结论的序号)
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【题目】如图,将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD,点A与点C是对应点.
(1)画出△OAB关于点O对称的图形(保留画图痕迹,不写画法);
(2)若∠A=110°,∠D=40°,求∠AOD的度数.
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【题目】已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根。
(1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当k=2时,请判断△ABC的形状并说明理由;
(3)k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长。
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【题目】在不透明的袋子中有四张标着数字 ,,, 的卡片,这些卡片除数字外都相同.甲同学按照一定的规则抽出两张卡片,并把卡片上的数字相加.下图是他所画的树状图的一部分.
(1)由上图分析,甲同学的游戏规则是:从袋子中随机抽出一张卡片后 (填"放回"或"不放回"),再随机抽出一张卡片;
(2)帮甲同学完成树状图;
(3)求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率.
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【题目】已知:在四边形 ABCD 中,∠A+∠C=180°,DB 平分∠ADC.
(1)如图 1求证:AB=BC
(2)如图 2,若∠ADB=60°,,试判断△ABC 的形状,并说明理由.
(3)如图 3,在(2)得条件下,在 AB 上取一点 E, BC 上取一点 F,连接 CE、AF 交于点 M,连接 EF,若∠CMF=60°,AD=EF=7,CD=8(CF﹥BF),求 AE 的长.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,、、分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长,这时我们把关于的形如“”的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”.请解决下列问题:
(1)填空:①当,时, .
②用含,的代数式表示值, .
(2)求证:关于的“菱系一元二次方程”必有实数根;
(3)若是“菱系一元二次方程”的一个根,且菱形的面积是25,BE是菱形ABCD的AD边上的高,求BE的值.
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