Question

【题目】已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根。

（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；

（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ABC为直角三角形，见解析；（3）当k=4时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长=16；当k=3时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长=14.

【解析】

（1）根据根的判别式即可求出答案；

（2）将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理逆定理即可求出答案；

（3）根据等腰三角形的性质即可求出k的值．

（1）△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1＞0，

∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当k=2时，

∴原方程化为：x2-7x+12=0，

解得：x=3或x=4，

∴32+42=52，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当BC是等腰三角形的腰时，

∴x=5是方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0解，

∴25-5（2k+3）+k2+3k+2=0，

解得：k2-7k+12=0，

∴k=3或k=4，

若k=3时，

则方程为：x2-9x+20=0，

∴x=4或x=5，满足三角形三边关系，

此时周长为14；

若k=4时，

则方程：x2-11x+30=0，

∴x=5或x=6，满足三角形三边关系，

此时周长为16；

当BC是等腰三角形的底边时，

此时方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0有两个相等的解，不满足题意，

综上所述，△ABC的周长为14或16.