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【题目】已知:在四边形 ABCD 中,∠A+∠C=180°,DB 平分∠ADC.

(1)如图 1求证:AB=BC

(2)如图 2,若∠ADB=60°,,试判断△ABC 的形状,并说明理由.

(3)如图 3,在(2)得条件下,在 AB 上取一点 E, BC 上取一点 F,连接 CEAF 交于点 M,连接 EF,若∠CMF=60°,AD=EF=7CD=8(CFBF),求 AE 的长.

【答案】1)见解析;(2ABC是等边三角形,理由见解析;(3AE=5.

【解析】

1)在DC上取一点H使DH=DA,易证DABDHB,可得AB=HB,∠A=DHB,然后根据等角的补角相等以及等角对等边可得HB=BC,易证结论;

2)连结AC,根据角平分线的定义和四边形内角和定理求出∠ABC =60°,即可得到ABC是等边三角形;

3)过点CCNADAD的延长线于点N,根据含30°直角三角形的性质求出DN=4NC=,然后利用勾股定理求得AB= AC=13,由ASA证明CAEABF,得到AE=BF,过点FFKAB,设BK=x,然后用含x的式子表示出FKEK,在RtEFK中通过勾股定理列方程,求出x的值即可得解(注意舍去不合题意的解).

解:(1)如图1,在DC上取一点H使DH=DA

DABDHB中,

DABDHBSAS),

AB=HB,∠A=DHB

∵∠A+C=180°,∠DHB+BHC=180°

∴∠C=BHC

HB=BC

AB=BC

2ABC是等边三角形,

理由:如图2,连结AC

∵∠ADB=60°,∠A+C=180°

∴∠ADC=120°

∴∠ABC=180°-ADC=60°

又由(1)得AB=BC

ABC是等边三角形;

3)过点CCNADAD的延长线于点N

∵∠ADC=120°CD=8

∴∠NDC=60°

DN=4NC=

AN=AD+DN=11

AC=

AB= AC=13

∵∠ACE=CMF-CAM=60°-CAM,∠FAB=60°-CAM

∴∠ACE=FAB

CAEABF中,

CAEABFASA),

AE=BF

过点FFKAB

BK=x,则BF=2xFK=x

AE=BF=2x

EK=AB-AE-BK=13-3x

RtEFK中,EF2=EK2+FK2

72=(13-3x)2+(x)2

解得:x1=x2=4(舍去),

AE=2x=5.

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A.3

B.4

C.1

D.2

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