Question

【题目】如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：

（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OF；

根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°
（2）解：由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC= =10cm，
∴BE+CG=BC=10cm
（3）解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO=∠OFC=90°
∵∠BOC=90°
∴∠BOF+∠COF=90°，∠COF+∠FCO=90°。
∴∠BOF=∠FCO
∴△FCO∽△FOB
∴
∴OF= =4.8cm
【解析】（1）根据已知圆的切线，因此连接OF，根据切线长定理得出∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG，再根据平行线的性质证得∠ABC+∠BCD=180°，再证明∠OBE和∠OCF互余，即可求出∠BOC的度数。
（2）根据切线长第得出BE=BF，CF=CG，再在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC的长，然后根据BC=BF+CF=BE+CG,计算即可得出答案。
（3）先证明∠BOF=∠FCO，再证明△FCO∽△FOB，然后利用相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出OF的长。
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的性质的相关知识，掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．