Question

已知抛物线y=x²-2x+a与直线y=x+1有两个公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₂＞x₁≥0．
（1）求抛物线的对称轴，并在所给坐标系中画出对称轴和直线y=x+1；
（2）试求a的取值范围；
（3）若AE⊥x，E为垂足，BF⊥x轴，F为垂足，试求S_梯形ABFE的最大值．

Answer 1

解：（1）对称轴x=1，

（2）方程组消去y，
得x²-3x+a-1=0．
由题意可知x₁，x₂是方程x²-3x+a-1=0的两个不相等的根，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=a-1，
∵x₂＞x₁≥0，
∴x₁•x₂≥0，
得a-1≥0，a≥1，
又△=13-4a＞0，
∴a＜，
故1≤a＜．

（3）∵点A，B在直线y=x+1上，
∴y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，
∴S_梯形ABFE=（AE+BF）×EF，
=（y₁+y₂）（x₂-x₁）=（x₁+x₂+2）=
∵1≤a＜，
∴a=1时，S_梯形ABFE取最大值．
分析：（1）根据抛物线的对称轴方程x=-即可求出对称轴的解析式．
（2）由于抛物线与直线y=x+1有两个不同的交点，可联立两个函数的解析式，可得出一个关于x的一元二次方程，由于x₁，x₂均不为负数，因此两根的积大于等于0，由此可求出a的取值范围．
（3）可先用A、B的横坐标和纵坐标表示出梯形的面积，然后根据直线y=x+1的解析式将各点的纵坐标替换掉，然后依据韦达定理和a的取值范围即可求出梯形的最大面积．
点评：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，函数图象的交点，图形面积的求法等知识．