Question

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM-AM|为最大值时点M的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）当BP=AC且BP∥AC时，四边形ACBP为菱形，根据BP=AC=5，且点P到x轴距离等于OB，则点P的坐标为（5，3），且当点P在第二、三象限时，以A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；
（3）求直线PA的解析式为：y=$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$，当M与P、A两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM-AM|＜PA．当点M与P、A两点在同一直线上时，得|PM-AM|=PA，则当点M与P、A两点在同一直线上时．|PM-AM|的值最大，此时点M为直线PA与抛物线的交点，列方程组解出即可．

解答 解：（1）∵OA=1，OB=3，OC=4．
∴A（1，0），B（0，3），C（-4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+4），
把（0，3）代入得：3=-4a，
a=-$\frac{3}{4}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$（x-1）（x+4），
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{9}{4}$x+3；
  （2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，
理由：∵OB=3，OC=4，OA=1，
∴BC=AC=5，
当BP=AC且BP∥AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴距离等于OB，
∴点P的坐标为（5，3），如图2，
当点P在第二、三象限时，以A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
∴当点P的坐标为（5，3）时，以A、B、C、P为顶点的四边形是菱形；
（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴点A的坐标为（1，0）点P的坐标为（5，3），
则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线PA的解析式为：y=$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$，
当M与P、A两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM-AM|＜PA．当点M与P、A两点在同一直线上时，得|PM-AM|=PA，
∴如图3，当点M与P、A两点在同一直线上时．|PM-AM|的值最大，此时点M为直线PA与抛物线的交点，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{9}{4}x+3}\end{array}\right.$         解得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-5}\\{{y}_{2}=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴当点M的坐标为（1，0）或（-5，-$\frac{9}{2}$）时，|PM-AM|的值最大，最大值是5．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形三边关系、两函数的交点问题以及两线段差的最值问题，第三问将两线段差的绝对值的最值问题转化为三角形的三边关系，使问题得以解决．