Question

19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AC于点E，DE⊥AB于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF=2，求AC的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OD、AD．只要证明OD∥AE，由DE⊥AC，推出DE⊥OD即可解决问题；
（2）连接BC．只要证明△DFO∽△BCA，推出$\frac{OF}{AC}$=$\frac{OD}{AB}$=$\frac{1}{2}$即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OD、AD．

∵点D是$\widehat{BC}$的中点，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接BC．

∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥AE，
∴∠DOB=∠EAB，
∵∠DFO=∠ACB=90°，
∴△DFO∽△BCA，
∴$\frac{OF}{AC}$=$\frac{OD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{2}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=4．

点评 本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．