Question

14．如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、BN的延长线于HF，若DH=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ADB，△BDC都是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）如图2中，连接AE、DE．由△AME∽△BMD，推出$\frac{AE}{EM}$=$\frac{BD}{DM}$=2，设EM=a，AE=2a，则AM=$\sqrt{5}$a，BD=AD=2$\sqrt{5}$a，推出AB=$\sqrt{2}$BD=2$\sqrt{10}$a，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=6a，推出tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，由AC∥EF，BH⊥AC，推出BH⊥EF，∠DEH=∠EDA=∠ABE，推出tan∠DEH=$\frac{1}{3}$=$\frac{DH}{EH}$，求出EH即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AD=DC，
∴△ADB，△BDC都是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：如图2中，连接AE、DE．

∵△AME∽△BMD，
∴$\frac{AE}{EM}$=$\frac{BD}{DM}$=2，设EM=a，AE=2a，则AM=$\sqrt{5}$a，BD=AD=2$\sqrt{5}$a，
∴AB=$\sqrt{2}$BD=2$\sqrt{10}$a，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=6a，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∵AC∥EF，BH⊥AC，
∴BH⊥EF，∠DEH=∠EDA=∠ABE，
∴tan∠DEH=$\frac{1}{3}$=$\frac{DH}{EH}$，
∴EH=6，
易知EF=2EH=12．

点评 本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．