Question

如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A．

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）求∠B的度数．

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）60°．

【解析】

试题分析：（1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABO≌△CBO，则∠BCO=∠BAO=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC，

由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可．

解答：（1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，

∵AB与⊙O切于A点，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，

∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，

在△ABO和△CBO中，

∵AB=CB，OA=OC，OB=OB，∴△ABO≌△CBO（SSS），∴∠BCO=∠BAO=90°，∴OC⊥BC，

∴BC为⊙O的切线；

（2）【解析】
∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO=∠CBO，

∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，DA=DC，∴点O在BD上，

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，而OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠BOC=2∠ODC，

而CB=CD，∴∠OBC=∠ODC，∴∠BOC=2∠OBC，

∵∠BOC+∠OBC=90°，∴∠OBC=30°，∴∠ABC=2∠OBC=60°．

考点：1．切线的判定与性质；2．菱形的性质．