Question

如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′．
（1）求点O与O′的距离；
（2）证明：∠AOB=150°；
（3）求四边形AOBO′的面积．
（4）直接写出△AOC与△AOB的面积和为______．

Answer 1

解：（1）∵等边△ABC，
∴AB=CB，∠ABC=60°．
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴BO=BO′，∠O′AO=60°．
∴∠O′BA=60°-∠ABO=∠OBA．
在△BO'A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC（SAS）．
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到．
 连接OO′，
∵BO=BO′，∠O′AO=60°，
∴△OBO′是等边三角形．
∴OO′=OB=4．

（2）∵△AOO′中，
三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形．
∴∠AOB=∠AOO′+∠O′OB=90°+60⁰=150°．  

（3）S_{四边形AOBO}'=S_△AOO'+S_△OBO'=×3×4+×4×2=6+4．

（4）如图，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形．
则S_△AOC+S_△AOB=S_{四边形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″=×3×4+×3×=6+．
分析：（1）证明△BO′A≌△BOC，即可证明△OBO′是等边三角形，从而求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可证得△AOO′是直角三角形，即可求解；
（3）根据S_{四边形AOBO}'=S_△AOO'+S_△OBO'即可求解；
（4）将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点，根据S_△AOC+S_△AOB=S_{四边形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″求解．
点评：本题考查了图形的旋转，正确作出辅助线是关键．