Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：结论：PB=PQ，

理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．

∵P为正方形对角线AC上的点，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四边形PECF为正方形．

∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

在△PQF和△PBE中，

，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ；

（2）解：结论：PB=PQ．

理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，

∵P为正方形对角线AC上的点，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

在△PQF和△PBE中，

，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．

【解析】（1）结论：PB=PQ，如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．（2）结论不变，证明方法类似．