Question

12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10．现将一个足够大的透明的三角板的直角顶点放在BC的中点D处，将三角板绕点D旋转，三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，下列结论：
①旋转过程中，DE可能与EF相等；
②旋转过程中，△DEF是等腰三角形；
③旋转过程中，四边形AEDF的面积是一定值，且面积为25；
④E、F分别在AB、CA延长线上时，且BE=2，四边形AFED的面积为40．
其中，正确的有：②③（直接填序号）

Answer 1

分析 如图1，根据等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，∠1=45°，再利用等角的余角相等得∠2=∠4，则可证明△ADE≌△CFD，得到DE=DF，于是可判断△DEF为等腰直角三角形，则对②进行判断，根据等腰直角三角形EF=$\sqrt{2}$DE，则可对①进行判断；由于△ADE≌△CFD，则S_△ADE=S_△CFD，所以四边形AEDF的面积=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=25，则可对③进行判断；如图2，作DH⊥AC于H，根据等腰直角三角形的性质得DH=AH=CH=5，同理可证得△ADE≌△CFD，则AE=CF，所以AF=BE=2，DE=DF，同样得到△DEF为等腰直角三角形，在Rt△DHF中利用勾股定理计算出DF²=74，则S_△DEF=$\frac{1}{2}$DF²=37，而S_△ADF=5，所以四边形AFED的面积=42，则可对④进行判断．

解答 解：如图1，
∵∠BAC=90°，AB=AC=10，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵点D为BC的中点，
∴AD=BD=CD，AD⊥BC，∠1=45°，
∵∠EDF=90°，即∠2+∠3=90°，
而∠4+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
在△ADE和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠C}\\{AD=CD}\\{∠2=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，所以②正确，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，所以①错误；
∵△ADE≌△CFD，
∴S_△ADE=S_△CFD，
∴四边形AEDF的面积=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×10×10=25，所以③正确；
如图2，作DH⊥AC于H，
则DH=AH=CH=5，
同理可证得△ADE≌△CFD，
∴AE=CF，即AB+BE=AC+AF，
∴AF=BE=2，DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
在Rt△DHF中，∵DH=5，FH=7，
∴DF²=5²+7²=74，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$DF²=37，
而S_△ADF=$\frac{1}{2}$×2×5=5，
∴四边形AFED的面积=37+5=42，所以④错误．
故答案为②③．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．