练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    阅读与证明：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图①，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB=AC，这一结论可以说明如下：
    解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中
    ∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD
    ∴△ABD≌△ACD
    ∴AB=AC
    请你仿照上述方法在图②中再选一种方法说明以上结论．
    操作：如图③，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，过点M、N作一组平行线分别与PQ交于点M′、N′，则线段MM′一定等腰NN′．想一想，为什么？
    根据上述阅读与证明的结论以及操作得到的经验完成下列探究活动．探究：如图④，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并说明你的结论．
    分析：阅读与证明：作∠BAC的平分线AD，然后利用“角角边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
    操作：根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠N，然后利用“角边角”证明△MOM′和△NON′全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
    探究：连接FE并延长交AB于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠ECF，然后利用“角边角”证明△BEG和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EG，BG=CF，延长AE到H，使AE=EH，利用“边角边”证明△AEG和△HEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=HF，全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠H，然后求出∠H=∠EAF，再根据等角对等边求出AF=HF，从而得到AG=AF，然后求解即可．
    解答：解：阅读与证明：如图②，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD，
    在△ABD和△ACD中，
    ∠BAD=∠CAD
    ∠B=∠C
    AD=AD
    ，
    ∴△ABD≌△ACD（AAS），
    ∴AB=AC；

    操作：如图③，∵MM′∥NN′，
    ∴∠M=∠N，
    ∵点O为线段MN的中点，
    ∴OM=ON，
    在△MOM′和△NON′中，
    ∠M=∠N
    OM=ON
    ∠MOM′=∠NON′
    ，
    ∴△MOM′≌△NON′（ASA），
    ∴MM′=NN′；

    探究：如图④，连接FE并延长交AB于G，
    ∵AB∥DC，
    ∴∠B=∠ECF，
    ∵E为BC边的中点，
    ∴BE=CE，
    在△BEG和△CEF中，
    ∠B=∠ECF
    BE=CE
    ∠BEG=∠CEF
    ，
    ∴△BEG≌△CEF（ASA），
    ∴EF=EG，BG=CF，
    延长AE到H，使AE=EH，
    在△AEG和△HEF中，
    AE=EH
    ∠AEH=∠HEF
    EF=EG
    ，
    ∴△AEG≌△HEF（SAS），
    ∴AG=HF，∠BAE=∠H，
    ∵∠BAE=∠EAF，
    ∴∠H=∠EAF，
    ∴AF=HF，
    ∴AG=AF，
    ∵AB=AG+BG，
    ∴AB=AF+CF．
    点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
    三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
    已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
    求证：
    BD
    DC
    =
    AB
    AC

    分析：要证
    BD
    DC
    =
    AB
    AC
    ，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式
    BD
    DC
    =
    AB
    AC
    中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作C精英家教网E∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明
    BD
    DC
    =
    AB
    AC
    就可以转化成证AE=AC．
    证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
    CE∥DA?
    ∠1=∠E
    ∠2=∠3
    ∠1=∠2
    ?∠E=∠3?AE=AC    ，
    CE∥DA?
    BD
    DC
    =
    BA
    AE
    AE=AC
    ?
    BD
    DC
    =
    AB
    AC

    （1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）
    （2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内．精英家教网[]
    ①数形结合思想；
    ②转化思想；
    ③分类讨论思想．
    （3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：
    已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：初中数学　三点一测丛书　八年级数学　下　（江苏版课标本） 江苏版 题型：047

    位似三角形

    如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位

    似中心．利用三角形的位似可以将一个三形缩小或放大．

    (1)

    如图，点O是等边三角形PQR的中心，、、分别是OP、OQ、OR的中点，则△与△PQR是位似三角形．此时，△与△PQR的位似比、位似中心分别为

    [　　]

    A．

    2；点P

    B．

    ；点P

    C．

    2；点O

    D．

    ；点O

    (2)

    如图，用下面的方法可以画AOB的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．画法：

    ①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；

    ②连结OE并延长，交AB于点，过点作∥EC，交OA于点，作∥ED，交OB于点；

    ③连结．则△是AOB的内接三角形．

    求证：△是等边三角形．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2000年全国中考数学试题汇编《三角形》（05）（解析版） 题型：解答题

    （2000•山西）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
    三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
    已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
    求证：
    分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化成证AE=AC．
    证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
    CE∥DA，
    CE∥DA
    （1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）
    （2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内．[]
    ①数形结合思想；
    ②转化思想；
    ③分类讨论思想．
    （3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：
    已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2000年全国中考数学试题汇编《相交线与平行线》（01）（解析版） 题型：解答题

    （2000•山西）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
    三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
    已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
    求证：
    分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化成证AE=AC．
    证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
    CE∥DA，
    CE∥DA
    （1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）
    （2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内．[]
    ①数形结合思想；
    ②转化思想；
    ③分类讨论思想．
    （3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：
    已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的长．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：2000年山西省中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （2000•山西）请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
    三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
    已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
    求证：
    分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明就可以转化成证AE=AC．
    证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
    CE∥DA，
    CE∥DA
    （1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）
    （2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内．[]
    ①数形结合思想；
    ②转化思想；
    ③分类讨论思想．
    （3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：
    已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的长．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案