Question

在直角坐标系XOY中，点A、点B、点C坐标分别为（4，0）、（8，0）、（0，-4）．
（1）求过B、C两点的一次函数解析式；
（2）若直线BC上有一动点P（x，y），以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等，求P点坐标；
（3）若y轴上有一动点Q，使以点Q、A、C为顶点的三角形为等腰三角形，求Q点坐标．

Answer 1

解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点B、点C坐标分别为（8，0）、（0，-4）．
∴，
解得：，
故过B、C两点的一次函数解析式为：y=x-4：

（2）设P的坐标为：（x，x-4），
∵点A、点C坐标分别为（4，0）、（0，-4）．
∴OA=OC=4，
∵以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等，
∴|x-4|=|x|，
即x-4=x或x-4=-x，
解得：x=-8或x=，
故P的坐标为：（-8．-8）或（，-）；

（3）连接AC，
∵OA=OC=4，
∴AC==4，
①若AQ=CQ，则点Q₁（0，0）；
②若AQ=AC，则点Q₂（0，4）；
③若CQ=AC=4，则Q₃（0，4-4）或Q₄（0，-4-4）；
综上可得：点Q的坐标分别为：（0，0）、（0，4）、（0，4-4）、（0，-4-4）．
分析：（1）首先设直线BC的解析式为：y=kx+b，由点B、点C坐标分别为（8，0）、（0，-4）．利用待定系数法即可求得过B、C两点的一次函数解析式；
（2）由以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等，OA=OC，可得点P的横坐标与纵坐标的绝对值相等，即可求得P点坐标；
（3）分别从AQ=CQ，AQ=AC，CQ=AC去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角形的性质以及三角形面积问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．