Question

8．如图，已知AB为⊙O的直径，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，且BC=CF．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若∠CAD=30°，AB=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证出$\widehat{BC}=\widehat{CF}$，由圆周角定理和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠OCA，证出OC∥AD，由已知条件得出OC⊥DE，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠ACB=90°，∠BAC=∠CAD=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BC=$\frac{1}{2}$AB=2，∠ABC=60°，由弦切角定理得出∠BCE=∠BAC=30°，证出∠E=∠BCE，得出BE=BC=2，证明△BCE∽△CAE，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 （1）证明：如图，连接OC，
∵BC=CF，
∴$\widehat{BC}=\widehat{CF}$，
∴∠BAC=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EC，
∴OC⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=∠CAD=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2，∠ABC=60°，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠BCE=∠BAC=30°，
∴∠E=60°-30°=30°=∠BCE，
∴BE=BC=2，
∵∠E=∠E，∠BCE=∠BAC，
∴△BCE∽△CAE，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{BE}{CE}$，
即$\frac{CE}{4+2}=\frac{2}{CE}$，
解得：CE=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的判定定理、圆周角定理、弧与弦的关系、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握切线的判定，证明弧相等和三角形相似是解决问题的关键．