Question

20．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，
（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；
（2）若 AB=AD，sin∠BAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，且且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求$\frac{MN}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，由∠ABC+∠ADE=180°，得到BC∥DE，得到∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，证出△CBN≌△EFN，得到BN=FN，EF=CB=AD，于是得到DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=$\frac{1}{2}$DF，证得△DEF∽△DAB，得到$\frac{DF}{DB}=\frac{EF}{AB}=\frac{BC}{AB}=tan∠BAC$．由sin∠BAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得到tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，即DF=$\frac{1}{2}$BD，得到MN=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{4}$BD即可得到结论$\frac{MN}{BD}=\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）MN⊥BD，MN=$\frac{1}{2}$BD；
如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，
∵∠ABC+∠ADE=180°，
∴BC∥DE，
∴∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，
∵CN=EN，
在△CBN与△EFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBN=∠EFN}\\{∠BCN=∠FEN}\\{CN=EN}\end{array}\right.$，
∴△CBN≌△EFN，
∴BN=FN，EF=CB=AD，
∴DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，
又∵BM=MD，
∴MN=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$BD，MN∥DF，
∴∠BMN=∠BDE=90°，
∴MN⊥BD；
（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，
由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=$\frac{1}{2}$DF，
∴EF=CB=DE，∠BCE=∠CEF，
∵∠ABC+∠ADE=180°，
∴∠BAD+∠BCE+∠CED=540°-180°=360°，
∵∠DEF+∠CEF+∠CED=360°，
∴∠BAD=∠DEF，
∵$\frac{EF}{AB}=\frac{ED}{AD}$，
∴△DEF∽△DAB，
∴$\frac{DF}{DB}=\frac{EF}{AB}=\frac{BC}{AB}=tan∠BAC$．
∵sin∠BAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，即DF=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{4}$BD．即$\frac{MN}{BD}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．