Question

14．一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．
（1）求A到灯塔P的距离AP（结果保留根号）；
（2）当轮船从B处继续向东航行时，经过15分钟后轮船与灯塔P距离最近，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）过点B作BC⊥AP于点C，先求出BC、AC的长度，然后确定∠CBP的度数，从而得出CB=PC，再根据AP=AC+PC即可得出答案；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，根据AD=APcos30°和BD=AD-AB，求出AC和BD，再根据速度=$\frac{路程}{时间}$，即可得出答案．

解答 解：（1）过点B作BC⊥AP于点C，在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠BCA=30°，
∴BC=ABsin30°=20，
∴AC=ABcos30°=20$\sqrt{3}$，
∵∠PBD=75°，∠ABC=60°，
∴∠CBP=45°，
∴CB=PC，
∴AP=AC+PC=（20+20$\sqrt{3}$）海里；

（2）过点P作PD⊥AB于点D，
则AD=APcos30°=（20+20$\sqrt{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$+30，
∴BD=AD-AB=10$\sqrt{3}$+30-40=10$\sqrt{3}$-10，
∴轮船每小时航行（10$\sqrt{3}$-10）÷$\frac{1}{4}$=（40$\sqrt{3}$-40）海里；
答：轮船每小时航行（40$\sqrt{3}$-40）海里．

点评 本题考查解直角三角形的应用，有一定的难度，注意在解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．