Question

19．已知a，b，c为△ABC的三边长，满足（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²=3（$\sqrt{ab}$+$\sqrt{ac}$-$\sqrt{bc}$），试说明△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 可将题目所给的可将题目所给的（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²=3（$\sqrt{ab}$+$\sqrt{ac}$-$\sqrt{bc}$），进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出a、b、c三边的数量关系，进而可判断出△ABC的形状．

解答 解：由（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²=3（$\sqrt{ab}$+$\sqrt{ac}$-$\sqrt{bc}$），
得：a+b+c-$\sqrt{ab}$-$\sqrt{ac}$-$\sqrt{bc}$=0，
则（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²+（$\sqrt{b}$-$\sqrt{c}$）²+（$\sqrt{c}$-$\sqrt{a}$）²=0，
所以a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了配方法的应用，关键是对要求的式子进行变形和因式分解，将已知的等式转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答．