Question

4．如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，在CD上取一点E．连接BE，∠BED=60°．若CE=6，△ACD的面积为$12\sqrt{3}$，则线段DB的长为4．

Answer 1

分析 延长BE交AC边于点F，易证△ACD≌△CBF，得BF=CD，利用三角形的面积求出BF的长度，继而求出DE的长度；然后证明△BED∽△CBD，求得BD的长度4．

解答 解：如图，延长BE交AC边于点F，
因为∠FCD+∠DCB=60°，∠DEB=∠EBC+∠ECB=60°，
∴∠ACD=∠FBC，
在△ACD和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠BAC}\\{∠FBC=∠ACD}\\{AC=BD}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBF，
∴BF=CD，
S△ACD=12$\sqrt{3}$=S△CBF=$\frac{1}{2}$CE•EF•sin60°+$\frac{1}{2}$CE•BE•sin60°
=$\frac{1}{2}$CE•BF•sin60°，
∴BF=8，则DE=2，∠DBE=∠DCB，∠DEB=∠DBC=90°，
△BED∽△CBD，
∴BD²=DE•CD=16，
∴BD=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了三角形全等的判定，以及三角形的相似的判定，运用三角形相似对应线段成比例求线段长度是解题的关键．