Question

20．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，已知AB=1，则DF的长是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 根据五边形ABCDE是正五边形，判断出AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE．根据△CDF∽△ACD，求出$\frac{DF}{CD}$=$\frac{CF}{AD}$，从而得到$\frac{x}{1}$=$\frac{1}{x+1}$，即可求出DF的长．

解答 解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE．
∴四边形ABCF是菱形．
∴CF=AF=AB=1．
易证△CDF∽△ACD，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{CF}{AD}$．
设DF=x，则AD=x+1，
∴$\frac{x}{1}$=$\frac{1}{x+1}$，即x²+x-1=0，解得x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$（舍去负值）．
∴DF的长是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．