Question

10．如图，已知以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠ABC的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；  
（2）若EF=8，tan∠AEF=$\frac{1}{2}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连结OE，交AC于G点，如图，由∠ABE=∠CBE得$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，则根据垂径定理得到OE⊥AC，而EF∥AC，根据平行线的性质得OE⊥EF，于是根据切线的判定定理得到EF是⊙O切线；
（2）根据平行线的性质由AG∥EF得∠EAG=∠AEF，在Rt△AEG中，利用正切的定义得tan∠EAG=$\frac{EG}{AG}$=$\frac{1}{2}$，设EG=x，⊙O的半径为r，则AG=2x，OG=r-x，在Rt△AGO中，利用勾股定理可得r=$\frac{5}{2}$x，则OG=$\frac{3}{2}$x，在证明△OAG∽△OFE，利用相似比可计算出AG=$\frac{24}{5}$，所以x=$\frac{12}{5}$，则OG=$\frac{18}{5}$，接着利用三角形中位线性质得BC=2OG=$\frac{36}{5}$，然后根据圆周角定理得∠CBD=∠EAC，于是在Rt△BCD中，利用tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{2}$可计算出CD．

解答 （1）证明：连结OE，交AC于G点，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，
∴OE⊥AC，
∵EF∥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O切线；
（2）解：∵AG∥EF，
∴∠EAG=∠AEF，
在Rt△AEG中，tan∠EAG=$\frac{EG}{AG}$=$\frac{1}{2}$，
设EG=x，⊙O的半径为r，则AG=2x，OG=r-x，
在Rt△AGO中，（2x）²+（r-x）²=r²，则r=$\frac{5}{2}$x，
∴OG=$\frac{3}{2}$x，
∵AG∥EF，
∴△OAG∽△OFE，
∴$\frac{AG}{EF}$=$\frac{OG}{OE}$，即$\frac{AG}{8}$=$\frac{\frac{3}{2}r}{\frac{5}{2}r}$，则AG=$\frac{24}{5}$，
∴x=$\frac{12}{5}$，
∴OG=$\frac{18}{5}$，
∵OA=OB，AG=CG，
∴OG=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=2OG=$\frac{36}{5}$，
∵∠CBD=∠EAC，
∴tan∠CBD=$\frac{1}{2}$，
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质．