Question

19．如图，⊙O的直径AB=4，弦DE垂直平分半径OA，点C为垂足
（1）求弦DE的长；
（2）若弦DF与OB交于点P，且∠DPA=45°，求$\widehat{EF}$的长．

Answer 1

分析 （1）如图，作辅助线；首先证明DC=EC；求出CE的长度，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，求出∠EOF的度数，运用弧长公式即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接OE．
∵⊙O的直径AB=4，弦DE垂直平分半径OA，
∴OC=1，OE=2，DC=EC；
由勾股定理得：CE²=OE²-OC²，
∴CE=$\sqrt{3}$，DE=2$\sqrt{3}$．
（2）如图，连接OF．
∵∠DPA=45°，
∴∠D=90°-45°=45°，
∴∠EOF=2∠D=90°，
∴$\widehat{EF}$的长=$\frac{90π•2}{180}$=π．

点评 该题以圆为载体，以垂经定理、勾股定理、圆周角定理、弧长公式等几何知识点的考查为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用垂经定理、勾股定理等知识点来分析、判断、解答．