Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请写出所有点M的坐标（请直接写出答案），若不存在，请说明理由．

【提示：抛物线（≠0）的对称轴是顶点坐标是】

Answer 1

解：(1)∵抛物线过C(0,-6)

∴c=－6, 即y=ax²+bx－6…………………1分

                                     

…………………2分

解得：a= ,b=－ 

∴该抛物线的解析式为…………4分

（2）存在…………………5分

设直线CD垂直平分PQ,

在Rt△AOC中，AC==10=AD…………………6分

∴点D在对称轴上，连结DQ  显然∠PDC=∠QDC，

由已知∠PDC=∠ACD，

∴∠QDC=∠ACD，

∴DQ∥AC，                    …………………7分

∴

∵AB=20，AD=10

 ∴DB=AB－AD=20-10=10=AD

∴

∴

∴DQ为△ABC的中位线，…………………8分

∴DQ=AC=5.

AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5

∴t=5÷1=5(秒)             …………………9分

∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分,

在Rt△BOC中, BC=…………………10分 

 ∴CQ=

∴点Q的运动速度为每秒单位长度. …………………11分

（本小题还可以连接DQ，PC，证明△APC≌△DQB，得到PA=PD=DQ，步骤参照上述标准给分）

（3）存在这样的五点：M₁(1, －3),  M₂（1，）,  M₃（1，－）,

  M₄(1, ),M₅((1, )