Question

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，现在其内部如图所示放置小、大、中三个正方形，其中小正方形边长为1，中正方形边长为2，则AC=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据题意可知△NFG∽△GCD∽△DEH，设DE=x，则GF=x+1，由$\frac{NF}{GF}=\frac{ED}{EH}$可求得x=1，然后再Rt△CGD和RtAMG中利用锐角三角函数的定义分别求得
AG和CG的长即可．

解答 解：如图所示；

∵Rt△ABC中放置小、大、中三个正方形，
∴△NFG∽△GCD∽△DEH．
设DE=x，则GF=x+1．
∵△NFG∽△DEH，
∴$\frac{NF}{GF}=\frac{ED}{EH}$，即$\frac{1}{x+1}=\frac{x}{2}$．
解得：x=1或x=-2（舍去）．
∴tan∠NGF=$\frac{1}{2}$．
∴sin∠NGF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠NGF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴AG=$\frac{GM}{cos∠AGM}$=$\frac{3}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，GC=CD•sin∠CDG=3×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴AC=$\frac{3}{2}\sqrt{5}+\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{21\sqrt{5}}{10}$．
故答案为：$\frac{21\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质求得x的值是解题的关键．