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    如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1m/s；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2m/s．运动时间为t s．
    （1）求△ABC的周长和面积；
    （2）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
    （3）当t为何值时，△AMN与△ABC相似？
    （4）在运动的过程中，会不会出现直线MN既平分△ABC的面积又平分△ABC的周长的情况？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
    考点：相似形综合题
    专题：
    分析：（1）利用勾股定理根据∠C=90°，BC=5m，AC=12m，求出AB=13m，再分别列式计算即可，
    （2）先求出AM=12-t，AN=2t，再根据∠AMN=∠ANM得出AM=AN，从而得出12-t=2t，再求出t=4 即可，
    （3）分两种情况讨论：①△AMN∽△ABC，则有
    AM
    AB
    =
    AN
    AC
    ，即
    12-t
    13
    =
    2t
    12
    ，②△ANM∽△ACB，则
    AN
    AB
    =
    AM
    AC
    ，即
    12-t
    12
    =
    2t
    13
    ，再分别计算即可，
    （4）假设直线MN能同时平分△ABC周长和面积，得出2t+12-t=15，求出t=3，则AM=9，AN=6，作NP⊥AC，垂足为P，根据△ANP∽△ABC，求出
    6
    13
    =
    NP
    5
    ，从而得出t=
    30
    13
    ＜6.5，最后根据△ANP的面积为
    135
    13
    ＜15，不是△ABC面积的一半，即可得出不能．
    解答：解：（1）∵∠C=90°，BC=5m，AC=12m，
    ∴AB2=BC2+AC2=169，
    ∴AB=13m，
    ∴△ABC的周长是：5+12+13=30m，
    面积是：
    1
    2
    ×5×12=30m2；

    （2）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
    ∴AM=12-t，AN=2t
    ∵∠AMN=∠ANM
    ∴AM=AN，从而12-t=2t
    解得：t=4 秒，
    ∴当t为4时，∠AMN=∠ANM．

    （3）分两种情况讨论：
    ①如图1，△AMN∽△ABC，
    则有
    AM
    AB
    =
    AN
    AC
    ，即
    12-t
    13
    =
    2t
    12
    ，
    解得：t=
    72
    19
    ＜6.5，符合题意；
    如图2，△ANM∽△ACB，
    则
    AN
    AB
    =
    AM
    AC
    ，即
    12-t
    12
    =
    2t
    13
    ，
    解得：t=
    156
    37
    ＜6.5，符合题意；
    综上所述，当t=
    72
    19
    和t=
    156
    37
    时，△AMN与△ABC相似；

    （4）假设直线MN能同时平分△ABC周长和面积，则AN=AM=15，即：
    2t+12-t=15，
    解得：t=3；
    此时AM=9，AN=6，
    如图3：
    作NP⊥AC，垂足为P，
    则△ANP∽△ABC，
    AN
    AB
    =
    NP
    BC
    ，即：
    6
    13
    =
    NP
    5
    ，
    解得：t=NP=
    30
    13
    ＜6.5，符合题意，
    ∵此时△ANP的面积为
    1
    2
    ×    9×
    30
    13
    =
    135
    13
    ＜15，不是△ABC面积的一半，
    ∴不能．
    点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积，关键是做出辅助线构造相似三角形，注意分类讨论思想的应用．
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