【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AB=6,AD=4 ,求EF的长.
【答案】
(1)
证明:连接OD,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠EAD.
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD.
∴∠ODA=∠EAD.
∴OD∥AE.
∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上,
∴EF与⊙O相切.
(2)
证明:连接BD,作DG⊥AB于G,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵AB=6,AD=4 ,
∴BD= =2,
∵OD=OB=3,
设OG=x,则BG=3﹣x,
∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2,即32﹣x2=22﹣(3﹣x)2,
解得x= ,
∴OG= ,
∴DG= = ,
∵AD平分∠CAB,AE⊥DE,DG⊥AB,
∴DE=DG= ,
∴AE= = ,
∵OD∥AE,
∴△ODF∽△AEF,
∴ ,即 ,
∴ ,
∴EF= .
【解析】(1)连接OD,由题可知,E已经是圆上一点,欲证CD为切线,只需证明∠ODF=90°即可.(2)连接BD,作DG⊥AB于G,根据勾股定理求出BD,进而根据勾股定理求得DG,根据角平分线性质求得DE=DG= ,然后根据△ODF∽△AEF,得出比例式,即可求得EF的长.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用切线的判定定理的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】解方程组与证明
(1)解方程组: .
(2)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC向下翻折,使点A与点C重合,折痕为DE.求证:DE∥BC.
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【题目】“校园安全”受到全社会的广泛关注,东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了如图两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为;
(2)请补全条形统计图;
(3)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数;
(4)若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.
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【题目】在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,AD=1,BC=2.连接BD,把△ABD绕着点B逆时针旋转90°得到△EBF,若点F刚好落在DA的延长线上,则∠C=°.
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【题目】计算:
(1)sin30°+3tan60°﹣cos245°.
(2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=75°,D在AC上,DC=6,∠DBC=60°,求AD的长.
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【题目】已知点A(2,a)在抛物线y=x2上
(1)求A点的坐标;
(2)在x轴上是否存在点P,使△OAP是等腰三角形?若存在写出P点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】我市校计划购买甲、乙两种树苗共200株来绿化校园,甲种树苗每株25元,乙种树苗每株30元,通过调查了解,甲乙两种树苗成活率分别是90%和95%.
(1)若购买这种树苗共用去5600元,则甲、乙两种树苗各购买了多少株?
(2)如果要求这200株树苗的成活率不低于93%,那么乙种树苗至少要购买多少株.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.
(1)证明:∠BDC=∠PDC;
(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE:CP=2:3,求AE的长.
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