【题目】如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连结AE、AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
【答案】当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形,理由见解析
【解析】试题分析:当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.如图,由CE平分∠BCA可得∠1=∠2,由MN∥BC可得∠1=∠3,所以∠3=∠2,所以 EO=CO,
同理可证FO=CO,所以EO=FO,结合OA=OC可得四边形AECF是平行四边形,由CF是∠BCA的外角平分线可得∠4=∠5,不难证明∠2+∠4=90°,所以平行四边形AECF是矩形.
试题解析:
当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.
证明:如图,∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,∴EO=CO,
同理,FO=CO,∴EO=FO,
又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形,
∵CF是∠BCA的外角平分线,∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,∴∠1+∠5=∠2+∠4,
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.
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【题目】随着夏季的到来,我县居民的用电量猛增.目前,我县城市居民用电收费方式有以下两种:
①普通电价付费方式:全天0.52元/度;
②峰谷电价付费方式:用电高峰时段(早8:00—晚21:00)0.65元/度;
用电低谷时段(晚21:00—早8:00)0.40元/度.
(1)已知小丽家5月份总用电量为280度.
①若其中高峰时段用电量为80度,则小丽家按照哪种方式付电费比较合算?能省多少元?
②若小丽家采用峰谷电价付费方式交电费137元,那么,小丽家高峰时段用电量为多少度?
(2)到6月份付费时,小丽发现6月份总用电量为320度,用峰谷电价付费方式比普通电价付费方式省了18.4元,那么,6月份小丽家高峰时段用电量为多少度?
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【题目】如图是三阶幻方的一部分,其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等,则对于这个幻方,下列说法错误的是( )
A. 每条对角线上三个数字之和等于
B. 三个空白方格中的数字之和等于
C. 是这九个数字中最大的数
D. 这九个数字之和等于
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【题目】如图,点A,B为定点,定直线l//AB,P是l上一动点.点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列各值:①线段MN的长;②△PMN的面积;③△PAB的周长;④∠APB的大小;⑤直线MN,AB之间的距离.其中会随点P的移动而不改变的是( )
A. ①②③ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②④⑤
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【题目】如图,已知在平面直角坐标系中,四边形ABCD是长方形,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB∥CD,AB=CD=8cm,AD=BC=6cm,D点与原点重合,坐标为(0,0)
(1)写出点B的坐标;
(2)动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动,动点Q从点C出发以每秒4个单位长度的速度沿射线CD方向匀速运动,若P,Q两点同时出发,设运动时间为t,当t为何值时,PQ∥BC;
(3)在Q的运行过程中,当Q运动到什么位置时,使△ADQ的面积为9,求此时Q点的坐标.
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【题目】已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C、D(如图).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
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【题目】(本小题满分6分)
(1)(3分)(-3)2-|-|+(3.14-x)0
(2)(4分)先化简,再求值:[(2x-y)2+(2x-y)(2x+y)]÷(4x),其中x=2,y=-1
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【题目】如图AB∥CD,点P是平面内直线AB、CD外一点连接PA、PC。
(1)写出所给的四个图形中∠APC、∠PAB、∠PCD之间的数量关系;
(2)证明图(1)和图(3)的结论。
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【题目】某批发门市销售两种商品,甲种商品每件售价为300元,乙种商品每件售价为80元.新年来临之际,该门市为促销制定了两种优惠方案:
方案一:买一件甲种商品就赠送一件乙种商品;
方案二:按购买金额打八折付款.
某公司为奖励员工,购买了甲种商品20件,乙种商品x(x≥20)件.
(1)分别写出优惠方案一购买费用y1(元)、优惠方案二购买费用y2(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式;
(2)若该公司共需要甲种商品20件,乙种商品40件.设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品,其余按方案二的优惠办法购买.请你写出总费用w与m之间的关系式;利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠.
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