Question

20．在平行四边形ABCD中，AB=2AD．
（1）作AE平分∠BAD交DC于E（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接BE，判定△ABE的形状．（不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的作法作∠BAD的平分线即可；
（2）延长AE交BC的延长线于点F，先由角平分线的性质得出∠DAE=∠BAE，再由平行线的性质得出∠BAE=∠DEA，故可得出∠DAE=∠DEA，故AD=DE，根据CD=2AD可知DE=CE，利用ASA定理得出△ADE≌△FCE，AD=CF，AE=EF，即△ABF是等腰三角形，据此可知BE⊥AF，△ABE是直角三角形．

解答 解：（1）如图，AE为所求；     

（2）△ABE为直角三角形．  
理由：延长AE交BC的延长线于点F，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠DEA，∠D=∠ECF，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE．
∵CD=2AD，
∴DE=CE，
在△ADE与△FCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF}\\{DE=CE}\\{∠DEA=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=CF，AE=EF，
∴△ABF是等腰三角形，
∴BE⊥AF，即△ABE是直角三角形．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．