Question

【题目】如图①：在△ABC中，∠ACB=90，△ABC是等腰直角三角形，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.

（1）求证：MN=AM+BN.

（2）如图②，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，则猜想AM、BN与MN之间有什么关系？请直接写出结论，并写出图②中的全等三角形.

Answer 1

【答案】（1）见解析；(2)MN=BN-AM (或AM=BN-MN或BN=AM+MN)

【解析】试题分析：

（1）由AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N可得∠AMC=∠BNC=∠ACB=90°，由此可得∠MAC+∠ACM=90°，∠ACM+∠BCN=90°，从而可得∠MAC=∠BCN，结合AC=BC，即可证得△ACM≌△CBN，即可得到MC=BN，AM=CN，结合MN=MC+CN可得MN=AM+BN；

（2）由题意和（1）同理可证△ACM≌△CBN，从而可得MN=BN-AM (或AM=BN-MN或BN=AM+MN).

试题解析：

（1）∵AM⊥MN, BN⊥MN，

∴∠AMC=∠CNB=∠ACB=90，

∴∠MAC+∠ACM=90，∠NCB+∠ACM=90，

∴∠MAC=∠NCB，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，

∴△AMC≌△CNB(AAS)，

∴AM=NC ，MC=BN，

∵MN=NC+MC，

∴MN=AM+BN，

（2）∵AM⊥MN, BN⊥MN，

∴∠AMC=∠CNB=∠ACB=90，

∴∠MAC+∠ACM=90，∠NCB+∠ACM=90，

∴∠MAC=∠NCB，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，

∴△AMC≌△CNB(AAS)，

∴AM=NC，MC=BN，

∵MN=MC-CN，

∴MN=BN-AM (或AM=BN-MN或BN=AM+MN).