Question

1．【方法阅读】
一般地，二元一次方程的解有无数个，但是有些二元一次方程的正整数解却只有有限个，如二元一次方程2x+3y=15的正整数解只有$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=1}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$两个．
那么，我们如何寻找二元一次方程的正整数解呢？
不妨以方程2x+3y=15为例，首先过程方程各项的特征，发现2x和15分别是偶数和奇数，可以确定3y必然是奇数，即y是奇数，再运用特值法代入尝试，即将y=1，3，5，…等奇数代入原方程一次求出相应的x的值，从而获得2x+3y=15的正整数解．
同学们还可以尝试运用列表法来探索二元一次方程的正整数解．
【理解运用】
（1）盒子里有若干个大小相同的红球和白球，规定从中摸出一个红球的3分，摸到一个白球的4分，假设小华摸到x个红球和y个白球，共得34分，请你列出关于x、y的方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解．
【灵活运用】
（2）已知△ABC的三边m，n，p都是正整数，m，n，p，且△ABC的周长为15，则符合条件的三角形共有7个．

Answer 1

分析 （1）根据某人摸到x个红球，y个白球，共得34分，列出方程，然后求出合适的x、y的值；
（2）设m≥n≥p，根据△ABC的周长为15列出方程m+n+p=1，则m≥5．由此求得符合条件的方程的解．

解答 解：（1）依题意得：3x+4y=34，
有三个正整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=7}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=1}\end{array}\right.$；

（2）设m≥n≥p，则由m+n+p=15，得m≥5．
用试值法或者枚举法可得：$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=5}\\{p=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=6}\\{p=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=5}\\{p=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=7}\\{p=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=6}\\{p=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=5}\\{p=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=4}\\{p=4}\end{array}\right.$．
所以符合条件的三角形共有7个．
故答案是：7．

点评 本题考查了二元一次方程的应用．解答本题的关键是根据题意列出方程，找出所有合适未知数的值