【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析;(2)4π﹣8.
【解析】
试题分析:(1)连接OD,易得∠ABC=∠ODB,由AB=AC,易得∠ABC=∠ACB,等量代换得∠ODB=∠ACB,利用平行线的判定得OD∥AC,由切线的性质得DF⊥OD,得出结论;
(2)连接OE,利用(1)的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°,易得∠BAC=45°,得出∠AOE=90°,利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论.
(1)证明:连接OD,
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ODB=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DF是⊙O的切线,
∴DF⊥OD,
∴DF⊥AC.
(2)解:连接OE,
∵DF⊥AC,∠CDF=22.5°,
∴∠ABC=∠ACB=67.5°,
∴∠BAC=45°,
∵OA=OE,
∴∠AOE=90°,
∵⊙O的半径为4,
∴S扇形AOE=4π,S△AOE=8 ,
∴S阴影=4π﹣8.
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【题目】如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD.
求证:(1)△ABD≌△ACE
(2)△ADE为等边三角形.
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【题目】某校举行全体学生“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字49个.随机抽取了部分学生的听写结果,绘制成如下的图表.
组别 | 正确字数x | 人数 |
A | 0≤x<10 | 10 |
B | 10≤x<20 | 15 |
C | 20≤x<30 | 25 |
D | 30≤x<40 | m |
E | 40≤x<50 | n |
根据以上信息完成下列问题:
(1)统计表中的m= ,n= ,并补全条形统计图;
(2)求扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数;
(3)已知该校共有2400名学生,如果听写正确的汉字的个数少于30个定为不合格,请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数.
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【题目】直角△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是边AC,BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图①,且∠α=50°,则∠1+∠2= ;
(2)若点P在斜边AB上运动,如图②,则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ;
(3)如图③,若点P在斜边BA的延长线上运动(CE<CD),请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系: ;
(4)若点P运动到△ABC形外(只需研究图④情形),则∠α、∠1、∠2之间有何关系?并说明理由.
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【题目】某校为了丰富学生的校园生活,准备购进一批篮球和足球.其中篮球的单价比足球的单价多40元,用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等.
(1)篮球和足球的单价各是多少元?
(2)该校打算用1000元购买篮球和足球,问恰好用完1000元,并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种?
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【题目】计算
(1)a×a3×(﹣a2)3
(2)()﹣1+()2×(﹣2)3﹣(π﹣3)0
(3)(﹣0.25)11×(﹣4)12
(4)(﹣2a2)2×a4﹣(﹣5a4)2.
(5)(x﹣y)6÷(y﹣x)3×(x﹣y)2
(6)314×(﹣)7.
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【题目】探索与研究:
方法1:如图(a),对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得,所以
∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图示写出证明勾股定理的过程;
方法2:如图(b),是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗?
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